矩阵理论

秩公式

秩定理: $r(AB) \le r(A)$, 且 $r(AB) \le r(B)$, 其中$A$为 $m$ x $n$ 阶矩阵，$B$ 为 $n$ x $p$ 阶矩阵。

备注公式: 若 $P$, $Q$ 都可逆，则 $r(PA) = r(AQ) = r(A)$; 且当 $k \neq 0$ 时, $r(kA) = r(A)$, 特别 $r(-A) = r(A)$。

秩公式: $r(A^TA) = r(A) = r(AA^T)$, $A$为实矩阵。
分块公式: $r(A, B) \le r(A) + r(B)$, 即 $r(A|B) \le r(A) + r(B)$

积零公式: 设 $AB=0$ 则 $r(A)+r(B) \le n$, 其中 $A$ 为 $m$ x $n$ 阶矩阵，$B$ 为 $n$ x $p$ 阶矩阵。即：若 $AB = 0$ 则 $r(A)+r(B) \le n$

证: 设 $A$ 为 $m$ x $n$ 阶矩阵， $B$ 为 $n$ x $p$ 阶矩阵，将 $B$ 按列分块: $B = (β_1,...,β_p)$，则 $AB = (Aβ_1, ..., Aβ_p) = 0$。
可知 $Aβ_1 = Aβ_2 = ... = Aβ_p = 0$, 即 $β_1,..β_p$ 都在空间 $W = \{X | AX = 0\}$中，故秩 $r(B)=r\{β_1,...,β_p\} \le dim(W)=n-r(A)$

补充公式: $r(A \pm B) \le r(A) + r(B)$, $A,B$都是 $m$ x $n$ 阶矩阵

补充定理1: 若 $r(A|B)=r(B)$, 则矩阵方程 $AX=B$必有解$X=D$, 使得$AD=B$。
引理1: 若 $n$ 阶方阵 $A$ 满足: $r(A^k)=(A^{k+1})$, 则存在$D$使得$A^k = A^{k+1}D$。